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Na teoria, a prática é outra

92 exercícios resolvidos de química, física e matemática

Progressão Aritmética

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Interpolar $5$ meios aritméticos entre $1$ e $2$.

Resolução

Devemos ter uma P.A. com $7$ termos, em que $a_{1}=1 \text{ e } a_{7}=2$. Para isso, precisamos descobrir o valor da razão $r$, para aplicar a fórmula geral, assim:

  • $$a_{7}=a_{1}+(7-1)\cdot r\Rightarrow$$
  • $$2=1+(7-1)\cdot r\Rightarrow$$
  • $$1=6\cdot r\Rightarrow$$
  • $$r=\frac{1}{6}$$
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Progressão Aritmética

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Qual é o termo igual a $60$ na P.A., em que o $2^{\circ}$ termo é $24$ e a razão é $2$?

Resolução

Pela fórmula do termo geral de uma P.A., temos que:

  • $$60=a_{1}+(n-1)\cdot 2$$
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Progressão Aritmética

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Calcular o $10^{\circ}$ termo de uma P.A. cujo $1^{\circ}$ termo é $3$ e a razão é $5$.

Resolução

Pela fórmula do termo geral de uma P.A., temos que:

  • $$a_{10}=3+(10-1)\cdot 5\Rightarrow$$
  • $$a_{10}=3+45$$
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Relações Notáveis

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Seja $a\in\mathbb{R}$, prove que:

$$
i) \sin\left( 2a\right)=2\sin \left(a\right) \cdot \cos \left(a\right)
$$
e

$$
ii) \cos\left( 2a\right)={\left( \cos \left(a\right)\right)}^2-{\left( \sin \left(a\right)\right)}^2
$$

Resolução

Dados $a,b\in\mathbb{R}$, temos que $\sin(a+b)$:

  • $$\sin\left( a+b \right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\sin\left(b\right) \cos\left(a\right)$$
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Números Complexos - Definição

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Sejam $a,b \in \mathbb{R}$ e $i \in \mathbb{C}$, onde $i^2=-1$, a forma algébrica de um número complexo $z$ é:
$$
z=a+bi
$$
A forma trigonométrica de um número complexo $z$ é:
$$
z=\rho \cos \theta +i \rho\sin \theta\\
$$
, onde $\theta$ é tal que:
$$
\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ e } \sin \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

$$
Para simplificar, podemos escrever $z$ de forma abreviada:
$$
z=\rho cis \theta
$$

Encontre a forma algébrica de:
$$
z=2 cis\left( \frac{\pi}{6} \right)
$$

Resolução

Temos que:

  • $$\cos{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
  • $$\sin{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{1}{2}$$
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Números Complexos - Definição

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Sejam $a,b \in \mathbb{R}$ e $i \in \mathbb{C}$, onde $i^2=-1$, a forma algébrica de um número complexo $z$ é:
$$
z=a+bi
$$
A forma trigonométrica de um número complexo $z$ é:
$$
z=\rho \cos \theta +i \rho\sin \theta\\
$$
, onde $\theta$ é tal que:
$$
\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ e } \sin \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

$$
Para simplificar, podemos escrever $z$ de forma abreviada:
$$
z=\rho cis \theta
$$

Encontre a forma trigonométrica de:
$$
z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Resolução

Temos que:

  • $$\rho=\sqrt{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2 +{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2 } \Rightarrow$$
  • $$\rho=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}} \Rightarrow$$
  • $$\rho=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1$$
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Trigonometria

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Calcule o valor de :

$$i) sen{\left(\dfrac {-2\pi}{3} \right)}$$

$$ii) sen{\left(\dfrac {-21\pi}{4} \right)}$$

Resolução

Temos que:

  • $$\dfrac{-2\pi}{3} \equiv \dfrac{-2\cdot 180^{\circ}}{3} =\dfrac{-2\cdot \overbrace{\cancel{180^{\circ}}}^{60^{\circ}}}{\cancel{3}}=-120^{\circ}$$
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Tabela Periódica

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Sobre os átomos A e B são conhecidos os seguintes
dados:
I. O átomo A tem 21 elétrons e número de massa igual
a 40.
II. O átomo B tem número atômico 20.
III. A e B são átomos isótonos entre si.

Qual a Massa do átomo B ?

Resolução

Primeiro sobre o átomo A : (sabe-se que o número de prótons é igual ao número de elétrons num átomo neutro)

  • $$M = Z + N$$
  • $$40 = 21 + N$$
  • $$N = 19$$
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Tabela Periódica

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Um elemento químico possui Massa igual a 4x , número de prótons iguais a 2x-2 e número de nêutrons iguais a 22. Quem seria este elemento e qual a sua massa?

Resolução

Sabe-se que a massa de um átomo se dá pela soma de seus prótons e seus nêutrons somente já que a massa do elétron é desprezível.

  • $$M = Z + N$$
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Titulação

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Um analista deseja realizar uma titulação utilizando uma solução titulante de NaOH 0,1M. Determine a concentração da solução de HCl sabendo que utilizou-se 15mL da solução de NaOH para titular 25mL da solução de HCl. O indicador utilizado foi fenolftaleína.

Resolução

Este problema consiste numa titulação ácido forte/base forte. A reação da titulação é:

  • $$NaOH + HCl = NaCl + H2O$$
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