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Na teoria, a prática é outra

130 exercícios resolvidos de química, física e matemática

Cálculo de Probabilidade de Conjuntos Formados com Simples Operações

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Seja $p$ uma probabilidade sobre um espaço amostral finito e equiprovável, $\Omega$. Se $A$ e $B$ são eventos de $\Omega$ tais que $P\left( A\right)=\frac{1}{2}, P\left( B\right)=\frac{1}{3} \text{ e } P\left( A\cap B\right)=\frac{1}{4}$, as probabilidade dos eventos $A\backslash B$, $A\cup B$ e $A^{c}\cup B^{c}$ são, respectivamente:

a) $\dfrac{1}{4},\dfrac{5}{6}\text{ e }\dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{6}\text{ e }\dfrac{1}{4}$
c) $\dfrac{1}{6},\dfrac{7}{12}\text{ e }\dfrac{3}{4}$
d) $\dfrac{1}{3},\dfrac{5}{6}\text{ e }\dfrac{1}{3}$
e) $\dfrac{1}{4},\dfrac{7}{12}\text{ e }\dfrac{3}{4}$

Resolução

Como o espaço amostral $\Omega$ é finito e equiprovável, a probabilidade de um conjunto $X$ qualquer é apenas $p\left(X \right)=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega\right)}$, onde $n\left(X\right)$ representa o número de elementos de $X$

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Inequação Logarítmica

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Seja $\alpha \in \mathbb{R}$, com $0<1$.

a) $\left]-\infty,0 \right] \cup \left[2,+\infty \right[$
b) $\left]-\infty,0 \right[ \cup \left]2,+\infty \right[$
c) $\left]0,2 \right[$
d) $\left]-\infty,0 \right[$
e) $\left]2,+\infty \right[$

Resolução

Vamos desenvolver a inequação do enunciado:

  • $${\alpha}^{2x}{\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)}^{2x^{2}}<1\Rightarrow$$
  • $${\alpha}^{2x}{\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)}^{2x^{2}}<{\alpha}^{0}\Rightarrow$$
  • $${\alpha}^{2x}{\left( {\alpha^{\left(\frac{1}{2}\right)2x^2}} \right)}^{2x^{2}}<{\alpha}^{0}$$
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Determinantes e Matrizes: Cálculo com a matriz transposta

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Considere $A\in {\mathbb{M}}_{5\times 5}\left( \mathbb{R}\right)$, com $det\left( A \right)=\sqrt{6}$ e $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$. Se $det\left(\alpha A^{t}AA^{t} \right)=\sqrt{6}\alpha$, o valor de $\alpha$ é:

a) $\dfrac{1}{6}$
b) $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
c) $\dfrac{\sqrt[3]{36}}{6}$
d) $1$
e) $\sqrt{216}$

Resolução

Pelo Teorema de Binet, temos que $det\left(A^{t} \right)=det\left(A \right)$. Logo:

  • $$det\left(\alpha A^{t}AA^{t} \right)={\alpha}^5 det\left( A^{t}AA^{t} \right)\Rightarrow$$
  • $$det\left(\alpha A^{t}AA^{t} \right)={\alpha}^5 det\left( A^{t} \right)det\left( A \right) det\left( A^{t} \right)\Rightarrow$$
  • $$det\left(\alpha A^{t}AA^{t} \right)={\alpha}^5 {\left(det\left(A\right) \right)}^{3}$$
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Exercício Misto de Polinômio e Progressão Geométrica

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Considere a equação $\displaystyle\sum_{n=0}^{5}a_n x^n=0$ em que a soma das raízes é igual a $-2$ e os coeficientes $a_0,a_1,a_2,_3,a_4 \text{ e } a_5$ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com $a_0=1$. Então $\displaystyle\sum_{n=0}^{5}a_n$ é igual a:

a) $=21$
b) $-\frac{2}{3}$
c) $\frac{21}{32}$
d) $\frac{63}{32}$
e) $63$

Resolução

Pela Relação de Girard, temos que:

  • $$\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 \right)=-\frac{a_4}{a_5}$$
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Identidade Trigonométrica com frações

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Seja $x\in\mathbb{R}$. Para $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \text{ e } x \neq k\pi, \text{ com } k\in \mathbb{Z}$, prove a seguinte identidade trigonométrica:$$\dfrac{1-\csc{\left(x\right)}}{\cot{\left(x\right)}}=\dfrac{\sin{\left(x\right)}-1}{\cos{\left(x\right)}}$$

Resolução

Como $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \text{ e } x \neq k\pi, \text{ com } k\in \mathbb{Z}$, temos que:

  • $$\sin{\left(x\right)}\neq 0$$
  • $$\cos{\left(x\right)}\neq 0$$
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Mínimização da distância entre pontos

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Considere a função $S(x)$ como sendo a soma dos quadrados das distâncias de um número real $x$ a esses três pontos, o que equivale a equação
$$S(x)={\left(x-a \right)}^2+{\left(x-b \right)}^2+{\left(x-c \right)}^2$$
Calcule o menor valor de $S(x)$, indique o valor de $x$ que leva a este menor valor e represente isso na Figura do Enunciado

Resolução

Pelo enunciado, temos que $\vert b \vert =\vert c \vert= \frac{ \vert a \vert}{2}$.

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Análise Combinatória - Carões sorteados para um determinado grupo

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Dez cartões são numerados de $1$ a $10$. Depois de embaralhados, são formados dois conjuntos de $5$ cartões cada. Determine a probabilidade de que os núemros $9$ e $10$ apareçam num mesmo conjunto.

Resolução

O número de casos totais é:

  • $$C_{10}^{5}\cdot C_{5}^{5}\Rightarrow$$
  • $$C_{10}^{5}\cdot C_{5}^{5}=252$$
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Razão entre as áreas de dois triângulos

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Considere um triângulo, $\triangle ABC$, sendo $D$ um ponto sobe o lado $\overline{AB}$ e $E$ um ponto sobre o lado $\overline{AC}$. Se $\overline{AB}=8 cm,\overline{AC}=10cm , \overline{AD}=4cm \text{ e }\overline{AE}=6cm$, a razão das áreas dos triângulos $\triangle ADE$ e $\triangle ABC$ é:

a) $\dfrac{1}{2}$
b) $\dfrac{3}{5}$
c) $\dfrac{3}{8}$
d) $\dfrac{3}{10}$
e) $\dfrac{3}{4}$

Resolução

Um esboço da figura descrita no enunciado é a Figura do Enunciado.

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Raciocínio Lógico - Negação de Proposição com mais de um Conectivo e com frases habituais

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A negação de "João comprou um sapato novo e foi ao cinema com Paula ou ao teatro com seus pais." é:

a) João comprou um sapato novo ou foi ao cinema com Paula e ao teatro com seus pais.
b) João não comprou um sapato novo ou não foi ao cinema com Paula e não foi ao teatro com seus pais.
c) João comprou um sapato novo ou foi ao cinema com Paula e não foi ao teatro com seus pais.
d) João não comprou um sapato novo ou não foi ao cinema com Paula e ao teatro com seus pais.
e) N.R.A.

Resolução

Para simplificar, vamos nomear cada proposição do enunciado:

  • $$A=\text{João comprou um sapato novo.}$$
  • $$B=\text{João foi ao cinema com Paula.}$$
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Raciocínio Lógico - Negação de Proposição com mais de um Conectivo

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Sejam $p,q \text{ e } r$ proposições e $\sim p, \sim q \text{ e } \sim r$, respectivamente, as suas negações. Os conectivos e ou são representados, respectivamente, por $\vee \text{ e } \wedge$. O condicional é representado por $\rightarrow$. A proposição $\left( p\vee \sim r\right)\rightarrow q$ é equivalente a:

a) $q \rightarrow \left(p\vee \sim r \right)$

b) $\left( p\vee \sim r\right)\wedge \sim q $

c) $\sim q \rightarrow \left( p\wedge \sim r\right)$

d) $\left(\sim p\wedge r\right)\vee q$

e) N.R.A

Resolução

Vamos encontrar uma proposição equivalente a $A\rightarrow B$, onde $A= \left( p\vee \sim r \right)\text{ e }B =q$.

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