Sistemas Lineares

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O conjunto de valores $\left(a,b \right)\in {\mathbb{R}}^2$ que tornam o sistema
$$
\left\{
\begin{array}{rcr}
3x-2y&=&a\\
-6x+4y&=&b
\end{array}
\right.
$$

indeterminado é:

a) $\{\left(0,0 \right)\}$

b) $\{\left(1,-2 \right)\}$

c) $\{\left(\alpha,\beta \right)\in{\mathbb{R}}^2 \vert\alpha=\frac{\beta}{2}\}$

d) $\{\left(\alpha,\beta \right)\in{\mathbb{R}}^2 \vert\beta=-2\alpha\}$

e) $\emptyset$

Resolução

Vamos fazer o escalonamento do sistema. Fazendo $L_2:=L_2+2\cdot L_1$:

  • $$\left\{\begin{array}{rcr} 3x-2y&=&a\\-6x+4y&=&b \end{array}\right. \Rightarrow$$
  • $$\left\{\begin{array}{rcr} 3x-2y&=&a\\0x+0y&=&b+2a \end{array}\right.$$
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Sistemas Lineares

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O conjunto de todos os $m$ para os quais o sistema
$$
\left\{
\begin{array}{rcr}
mx+y&=&1\\
4x+my&=&2m
\end{array}
\right.
$$
não tem soluções é:

a) $\left(-2,0,2 \right)$

b) $\left(0,1,4,5 \right)$

c) $\left(-2,1 \right)$

d) $\left(-2,2 \right)$

e) $\left(-0,1,2 \right)$

Resolução

Na primeira linha do sistema se $m=0$, não podemos deividi-la por $m$, assim, vamos analisar os casos $m=0$ e $m\neq0$.

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Sistemas Lineares

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O sistema:
$$\left\{\begin{array}{rcr}2x+3y&=&4\\2x+ay&=&4\end{array}\right.$$a) Tem infinitas soluções para qualquer que seja $a$.

b) Só tem solução se $a=-3$.

c) É impossível, se $a \neq 3$.

d) Nunca é impossível.

e) Tem solução única para qualquer que seja $a$.

Resolução

Vamos fazer o escalonamento do sistema. Fazendo L_2:=L_2- L_1

  • $$\left\{\begin{array}{rcr} 2x+3y&=&4\\ 2x+ay&=&4 \end{array}\right. \Rightarrow$$
  • $$\left\{\begin{array}{rcr} 2x+3y&=&4\\0x+\left(a-3\right)y&=&0 \end{array}\right.$$
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Sistemas Lineares - Exercício Avançado

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Sendo $m$ e $n$ $\in \mathbb{R}$, considere os sistemas lineares em $x$, $y$ e $z$:
$
\left\{
\begin{array}{rcr}
x+y-z & = &0 \\
x-3y+z&=&1 \\
-2y+z&=&m
\end{array}
\right.
$
e
$
\left\{
\begin{array}{rcr}
x-y&=&0\\
x+2y-z&=&0\\
2x-ny+3z&=&0
\end{array}
\right.
$
Se ambos permitem infinitas soluções reais qual é o valor de $m$ e $n$?

Resolução

Um sistema linear que possui infinitas soluções, após o escalonamento, fica com a sua última linha com todos os coeficientes e o resultado iguais a $0$.

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